1. Acasa
  2. Matematica
  3. Multimi de numere. Probleme de numarare. Probabilitati

Matematica - Multimi de numere. Probleme de numarare. Probabilitati

Multimi de numere. Probleme de numarare. Probabilitati - Intrebarea 14

Se consideră dezvoltarea open parentheses square root of 2 plus 1 close parentheses to the power of 7 . Să se determine numărul termenilor raționali ai dezvoltării.

3
4
5
  Raspunsul este corect.
  Raspunsul este gresit.

Explicatie:

Răspuns corect: B

În general, termenul de rang k din binomul lui Newton open parentheses a plus b close parentheses to the power of n equals sum from k equals 0 to n of C subscript n superscript k a to the power of n minus k end exponent b to the power of k comma space unde a comma b element of straight real numbers comma n element of straight natural numbers, este dat de formula:

T subscript k plus 1 end subscript equals C subscript n superscript k a to the power of n minus k end exponent b to the power of k comma space k element of open curly brackets 0 comma 1 comma 2 comma... comma n close curly brackets.

Astfel, pentru problema dată, avem: open parentheses square root of 2 plus 1 close parentheses to the power of 7 equals C subscript 7 superscript k times open parentheses square root of 2 close parentheses to the power of 7 minus k end exponent times 1 to the power of k equals C subscript 7 superscript k times 2 to the power of fraction numerator 7 minus k over denominator 2 end fraction end exponent comma space k element of open curly brackets 0 comma 1 comma 2 comma... comma 7 close curly brackets.

Termenii raționali sunt obținuți dacă și numai dacă 7 minus k este par (fraction numerator 7 minus k over denominator 2 end fraction element of straight natural numbers left right double arrow open parentheses 7 minus k close parentheses vertical ellipsis 2).

Rezultă că 7 minus k este par pentru k element of open curly brackets 1 comma 3 comma 5 comma 7 close curly brackets comma ceea ce înseamnă că dezvoltarea conține 4 termeni raționali open parentheses T subscript 2 comma T subscript 4 comma T subscript 6 comma T subscript 8 close parentheses.